原码 反码 补码的原理

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CPU中以二进制来表示和计算数据，为了进行算数运算，先后出现了以下三种编码：原码，反码和补码。

名称 英文 用途
原码 Sign-Magnitude 最直观的人类写法
反码 Ones’ Complement 过渡形式，历史上用过
补码 Two’s Complement 现代计算机通用

原码

最高位表示符号：0=正，1=负
剩下的位表示数值大小
优点：直观
缺点：有“+0”和“-0”两个表示方式，需要专门的减法电路
这里的+0和-0没有数学上的意义，单纯是表示上的差别
00000000 表示 +0，10000000表示-0 有时候做两数相等比较的时候会比较麻烦
如果要实现 A-B，则必须：

  1. 检查符号位
  2. 做加法或减法
  3. 根据符号位调整结果

例如对于8位二进制数：

十进制 原码二进制
+5 00000101
-5 10000101

例1： -1 + -1 （原码）
步骤：

  • +1（原码）：0000 0001
  • -1（原码）：1000 0001

两数相加（原码）：

1
2
3
4
1000 0001
+1000 0001
-----------
1 0000 0010   (溢出位1)

结果变成 0000 0010（把符号位当普通位加了） → 实际是 +2，不正确。
💡 在原码下，-1 + -1 得不到 -2，必须用单独的减法指令或额外处理逻辑才行。

例2：2+(-3) （原码）
步骤

  • +2（原码）：0000 0010
  • -3（原码）：1000 0011

相加：

1
2
3
4
0000 0010
+1000 0011
-----------
1000 0101

这被解释为 -5（原码），但正确答案应是 −1-1−1。
💡 在原码下做正数 + 负数很难直接得到正确结果，需要硬件做“减法”并判断符号。

反码

正数：和原码一样
负数：在原码基础上符号位不变，数值位按位取反
缺点：仍然有“+0”和“-0”两种表示和“末位进位回加”问题（end-around carry）。

如果要实现A-B时可以这样做：
A+(B的反码)
在 反码加法中：

  • 当两个符号位相加后，产生了一个“多出来的”进位到最高位以外。
  • 具体来说：当两个数同号，或一个数是负数另一个是正数，但反码相加时结果大于最大可表示的正值，会产生环绕进位。

📌 重点记忆：
只要反码相加结果溢出了最高位，且你要得到正确值，就要把溢出的1加回最低位。

例1：8 位反码：

  • +2 (反码) = 0000 0010
  • +3 (反码) = 0000 0011

相加：

1
2
3
4
0000 0010
+0000 0011
-----------
0000 0101  (没有溢出，不用回加)

例2：典型的回加例子（-1 + -1）

  • -1 原码 = 1000 0001 → 反码 = 1111 1110

再加 -1：

1
2
3
4
1111 1110
+1111 1110
-----------
1 1111 1100  (多出一个进位1)

去掉溢出的1（符号之外）再加回最低位：

1
1111 1100 + 1 = 1111 1101

这是 -2 的反码。正确。

补码

现代计算机都用补码。

  • 正数：与原码、反码相同
  • 负数：反码+1
  • 好处：
    • 加减法可以用同一个加法器完成
    • 只有一个零
    • 范围可以多出一个负数（-128～+127 for 8-bit）
      例如：
十进制 原码 反码 补码
+5 00000101 00000101 00000101
-5 10000101 11111010（反码） 11111011（补码）
对于 n 位二进制：
  • 负数的补码 = $a^{n} - |X|$
  • 负数的补码再取补码（再求反码+1）就回到正数

如果要实现A-B时可以这样做：
A+(B的补码)
只要有一个加法器，就能同时完成加法和减法，因为：

  • B 为正：直接加
  • B 为负：加上它的补码

补码天然让溢出和进位处理一致。
📌 优点：无需单独的减法器/减法指令，只需：

  • 把第二个操作数取补码（硬件中通过反码+1实现）
  • 然后用同一个加法器执行加法

例 1：−1+−1（补码）
步骤

  • -1（补码）**：
    • 原码：1000 0001
    • 反码：1111 1110
    • 补码：1111 1111

两数相加：

1
2
3
4
1111 1111
+1111 1111
-----------
1 1111 1110

丢弃最高位的进位（溢出位）：
1111 1110

→ 这是 -2 的补码（因为负数补码 = 反码 + 1 → 反码 = 1111 1101 → 原码 = 1000 0010）。
✅ 直接得出 -2。
📌 补码不需要回加。

例 2：2+(−3)（补码）
步骤

  • +2（补码）：0000 0010
  • -3（补码）：
    • 原码：1000 0011
    • 反码：1111 1100
    • 补码：1111 1101

两数相加：

1
2
3
4
0000 0010
+1111 1101
-----------
1111 1111

1111 1111 → 这是 -1 的补码。
✅ 结果正确：2+(−3)=−1。